機械要素の基礎講座
多くの産業を支える機械の基礎として重要な「機械要素」。 歯車やベルト・チェーン、ばねなど多岐にわたります。本連載では、 それらの機械要素について、知っておくべき基本的な事項をご紹介していきます。
第1章 歯車

1-13 歯車の強度設計

1:歯の曲げ強さ

歯車は高速で回転しながら大きな動力を伝達する機械要素です。もし、高速で大きな動力を伝達している歯車が途中で割れるようなことがあれば大事故につながってしまいます。 どんな材料でも、必要以上の力が加わったときに変形や破断をしないものはありません。そのため、動作中の歯車にどのくらいの力がはたらいているのかをきちんと把握しておき、必要以上に大きな力がはたらいて歯車が途中で変形したり、割れたりするようなことがないようにしておくことが求められます。

材料の強度設計の基本は、材料力学という学問体系があります。歯車の強度設計においても、この学問をベースとしていくつかの計算式が提案されてきました。その中でも、1892年にウィルフレッド・ルイスによって提案された歯の曲げ強さに関する関係式は、ルイスの式として、現在でも歯車の強度設計に幅広く用いられています。

細長い棒が荷重を受けて曲げようとする力を受けるとき、この棒のことを「はり」といい、時に一端が固定された「はり」を“片持ちばり”といいます。また、「はり」の1点に集中して荷重が加わるとみなされるものを集中荷重といいます。歯の曲げ強さの考え方は、この集中荷重を受ける“片持ちばり”が基本となります。 すなわち、一枚の歯車の歯先に集中荷重を受ける“片持ちばり”として歯の曲げ強さを考えるのです。ここでは歯の曲げ強さの概要を紹介します。

一枚の歯車の歯の断面に生じる最大曲げ応力は式@で表されます。ここで、Fは回転力としてはたらく円周力、bは歯車の歯幅、mは歯車のモジュール、Yは歯車の歯の形状と曲げ強さの関連を示す曲げ係数、KAは原動機側や従動機側からの衝撃を考慮した使用係数、Kvは歯形誤差や周速度による動的な力を考慮した動荷重係数、SFは安全率です。 式(1)を円周力Fについて解くことで式(2)が得られ、ここから歯車に加えることができる最大の力を求めることができます。はすば歯車など歯にねじりがある場合には、これにねじり角係数が加わります。 また、歯が受ける繰返し回数を考量した寿命係数が加わることもあります。 実際には、式(1)や式(2)の文字に該当する具体的な数値を代入して計算を代入して、歯車の強度設計を行います。興味をもたれた方は、機械設計便覧などを読んで、実際の計算を学んでください。

2:歯の歯面強さ

歯車の強度設計にはルイスの式のほか、歯の歯面強さの視点から導かれた関係式があります。これは19世紀の終わりにハインリヒ・ヘルツが導いた弾性力学の関係式を歯車の接触応力にあてはめたものです。具体的には歯面を円筒面として考え、かみ合った接触部の面圧を計算します。 この関係式はヘルツの式として、現在でも歯車の強度設計に幅広く用いられています。はりの曲げ強さから導いたルイスの式と異なるのは、ヘルツの式は歯車がかみ合うとき、歯面に加わる力とそれによって生じる接触応力に注目したことです。

例えば、歯を曲げ強さから計算したときに強度面で心配がないとしても、先に歯面が摩耗したり、ピッチングとよばれる剥離などによって損傷が生じることを検討しておくのです。細かく分類すると、ピッチングには使用後まもなく歯元に発生する初期ピッチングと初期運転期間を過ぎてからもピッチングが歯面に進行する破壊性ピッチングとがあります。 また、歯の表面からでなく、内部におけるせん断力を起点として表面に向かってき裂が進展するスポーリングという現象もあり、最悪の場合には歯が折れることにつながります。ここでは歯の歯面強さの概要を紹介します。

歯面に生じる許容接触応力は式(1)で表されます。ここで、Fは回転力としてはたらく円周力、bは歯車の歯幅、dは小歯車のピッチ円直径、uは2枚の歯車の歯数比、ZHは領域係数(圧力角が20度のときには2.49)、ZEは材料の縦弾性係数による定数係数、KAは使用係数、KVは動荷重係数、SHは歯面強さに対する安全係数です。 式(1)を円周力Fについて解くことで式(2)が得られ、ここから歯車に加えることができる最大の力を求めることができます。

実際には、式(1)や式(2)の文字に該当する具体的な数値を代入して計算を代入して、歯車の強度設計を行います。数式は複雑に見えますが、規格表などから条件に合う数値を探して代入するだけで、計算は計算機で行えばよいため、それほど難しくありません。興味をもたれた方は、機械設計便覧などを読んで、実際の計算を学んでください。

ところで、曲げ強さから導いたルイスの式と歯面強さから導いたヘルツの式のどちらの計算を採用すればよいのでしょうか。一般的には、硬さが大きく、ピッチングによる損傷が生じにくい場面にはルイスの式を用い、硬さが小さく、歯車の接触が多くなる長時間運転する機械の歯車で摩耗やピッチングによる損傷が生じやすい場面にはヘルツの式を用います。

執筆:宮城教育大学 教育学部 技術教育専攻 門田 和雄 准教授

『機械要素の基礎講座』の目次

第1章 歯車

第2章 ベルトとチェーン

第3章 ばね

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